Question

【題目】已知函數， ，.

（Ⅰ）判斷直線能否與曲線相切，并說明理由；

（Ⅱ）若不等式有且僅有兩個整數解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）假設直線與曲線相切，設出切點坐標，根據導數的幾何意義，化簡可得，根據切點既在曲線上又在切線上化簡可得,

兩者聯立消去將題意轉化為,令,確定其在內有零點即可；（Ⅱ）將轉化為，令，利用導數研究單調性證明恒成立，分為， 不符合題意，當時，只需滿足解出即可.

試題解析：（Ⅰ）假設存在這一的實數使得的圖象與相切，設切點為，

由可知，，即①

又函數的圖象過定點（1,0），因此，即②

聯立①、②消去有.

設，則，所以在上單調遞增，

而，，，故存在，使得.

所以存在直線能與曲線相切.

（Ⅱ）由得.

令，則.

令，則，所以在上單調遞增，

又，，所以在上有唯一零點，，

此時在上單調遞減，在上單調遞增.

∴，

易證，.

當時，；當時，.

（1）若，則，此時有無窮多個整數解，不合題意；

（2）若，即，因為在上單調遞減，在上單調遞增，

所以時，，所以無整數解，不合題意；

（3）若，即，此時，故0,1是的兩個整數解，

又只有兩個整數解，因此，解得.

所以.