Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣3x
（1）討論f（x）的單調區間；
（2）若函數g（x）=f（x）﹣m在[﹣ ，3]上有三個零點，求實數m的取值范圍；
（3）設函數h（x）=ex﹣ex+4n2﹣2n（e為自然對數的底數），如果對任意的x1 ， x2∈[ ，2]，都有f（x1）≤h（x2）恒成立，求實數n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域為R，f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．

因為當x＜﹣1或x＞1時，f′（x）＞0；當﹣1＜x＜1時，f′（x）＜0；

所以f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），單調遞減區間為（﹣1，1）

（2）解：要使函數g（x）=f（x）﹣m在[- ，3]上有三個零點，就是要方程f（x）﹣m=0在[- ，3]上有三個實根，也就是只要函數y=f（x）和函數y=m的圖像在[﹣ ，3]上有三個不同的交點．

由（1）知，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上單調遞增，在（﹣1，1）上單調遞減；

所以f（x）在x=﹣1處取得極大值f（﹣1）=2，在x=1處取得極小值f（1）=﹣2．

又f（- ）= ，f（3）=18．

故實數m的取值范圍為

（3）解：對任意的 ，都有f（x1）≤h（x2）恒成立，等價于當 時，f（x）max≤h（x）min成立．

由（1）知，f（x）在[ ，1]上單調遞減，在[1，2]上單調遞增，且 ，f（2）=2，所以f（x）在[ ，2]上的最大值f（x）max=2．

又h′（x）=ex﹣e，令h′（x）=0，得x=1．

因為當x＜1時，h′（x）＜0；當x＞1時，h′（x）＞0；所以h（x）在[ ，1]上單調遞減，在[1，2]上單調遞增；故h（x）在[ ，2]上的最小值h（x）min=h（1）=4n2﹣2n．

所以4n2﹣2n≥2，解得 或n≥1，故實數n的取值范圍是（﹣∞，﹣ ]∪[1，+∞）

【解析】（1）直接求導數，然后解不等式可得原函數的增減區間；（2）利用數形結合，將問題轉化為函數y=f（x）與y=m的交點問題，只需利用導數研究函數y=f（x）的極值、最值即可；（3）因為h（x）與f（x）是兩個不同的函數，所以該不等式恒成立只需f（x）max≤h（x）min即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．