Question

如圖，一個等腰直角三角形的硬紙片△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜邊上的高，沿CD把△ABC折成直二面角．

⑴如果你手中只有一把能夠量長度的直尺，應該如何確定A、B的位置，使得二面角A—CD—B是直二面角？證明你的結論．

⑵試在平面ABC上確定一點P，使DP與平面ABC內任意一條直線垂直，證明你的結論．

⑶如果在折成的三棱錐內有一個小球，求出球的半徑的最大值．

Answer 1

（本題滿分14分）

解：⑴用直尺度量折后的AB長，若AB＝4cm，則二面角A-CD-B是直二面角

∵△ABC是等腰直角三角形，∴AD＝DB＝

又∵AD⊥DC，BD⊥DC，∴∠ADC為二面角A-CD-B的平面角  4分

⑵取△ABC的中心P，連DP，則DP滿足條件

∵△ABC此時為正三角形，且AD＝DB＝DC

∵三棱錐D-ABC是正三棱錐，由P為△ABC的中心知DP⊥面ABC

∴DP與平面ABC內任意一條直線垂直    8分

（3）當小球半徑最大時，此時小球與三棱錐的四個面都相切

設該小球的球心為O，半徑為r，連結OA，OB，OC，OD

三棱錐被分成了四個小三棱錐，且每個小三棱錐中有一個面上的高都為r

故有代入得即小球的半徑最大

值為     14分