Question

【題目】設橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，，分別是橢圓的左、右焦點，離心率，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于，兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）設點是一個動點，若直線的斜率存在，且為中點，，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)由題意求得a,b,c的值即可確定橢圓方程；

(Ⅱ)聯立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理和向量的坐標運算法則求得直線的斜率即可確定直線方程；

(Ⅲ)由題意結合點差法得到的表達式，結合其表達式求解取值范圍即可.

(Ⅰ)拋物線的焦點坐標為，故，

結合可得：，故橢圓方程為：.

(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，設，

假設存在滿足題意的直線方程：，

與橢圓方程聯立可得：，

則，

則：

，

結合題意和韋達定理有：，

解得：，即存在滿足題意的直線方程：.

(Ⅲ)設，設直線AB的方程為，

由于：，

兩式作差整理變形可得：，

即：. ①

又 ②

③

①×②可得： ④

④代入③可得： ⑤

④⑤代入①整理可得：，

，據此可得：，

從而.