Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0），其焦點(diǎn)為F（1，0），過(guò)F作斜率為k的直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于P點(diǎn)．

（1）求P的值；
（2）設(shè)|PA|+|PB|=λ|PA||PB||PF|，若k∈[ ，1]，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)榻裹c(diǎn)F（1，0），所以 ，解得p=2．
（2）解：由題可知：直線AB的方程為y=k（x﹣1）（k≠0），準(zhǔn)線的方程為x=﹣1

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則 ．由 消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

故 ．

由|PA|+|PB|=λ|PA||PB||PF|得

解得 ．

因?yàn)閗∈[ ，1]，所以λ∈[ ， ]．

【解析】（1）運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算即可得到所求方程；（2）由題可知：直線AB的方程為y=k（x﹣1）（k≠0），準(zhǔn)線l的方程為x=﹣1，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），聯(lián)立拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．