Question

【題目】函數f（x）= ．
（1）求函數f（x）的定義域A；
（2）設B={x|﹣1＜x＜2}，當實數a、b∈（B∩RA）時，證明： |．

Answer 1

【答案】
（1）解:由題意得：|x+1|+|x+2|﹣5≥0，

當x≤﹣2時，得x≤﹣4；當﹣2＜x＜﹣1時，無解；當x≥﹣1時，得x≥1，

∴A={x|x≤﹣4或x≥1}；

（2）證：∵B={x|﹣1＜x＜2}，RA={x|﹣4＜x＜1}，

∴B∩RA={x|﹣1＜x＜1}，

∴a、b∈{x|﹣1＜x＜1}，

要證 ＜|1+ |，只需證4（a+b）2＜（4+ab）2，

∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4a2+4b2﹣a2b2﹣16=（b2﹣4）（4﹣a2），

∵a、b∈{ x|﹣1＜x＜1}，

∴（b2﹣4）（4﹣a2）＜0，

∴4（a+b）2＜（4+ab）2，

∴ ＜|1+ |成立．

【解析】（1）分類討論x的范圍，根據負數沒有平方根，利用絕對值的代數意義求出x的范圍，即可確定出A；（2）求出B與A補集的交集，得到a、b滿足的集合，把所證等式兩邊平方，利用作差法驗證即可．
【考點精析】本題主要考查了交、并、補集的混合運算和函數的定義域及其求法的相關知識點，需要掌握求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區分交集與并集的關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發去揭示、挖掘題設條件，結合Venn圖或數軸進而用集合語言表達，增強數形結合的思想方法；求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零才能正確解答此題．