Question

已知數列{a_n}（n為正整數）是首項是a₁，公比為q的等比數列．
（1）求和：a₁C₂⁰-a₂C₂¹+a₃C₂²，a₁C₃⁰-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³；
（2）由（1）的結果歸納概括出關于正整數n的一個結論，并加以證明．
（3）設q≠1，S_n是等比數列{a_n}的前n項和，求：S₁C_n⁰-S₂C_n¹+S₃C_n²-S₄C_n³+…+（-1）ⁿS_n+1C_nⁿ．

Answer 1

分析：（1）利用組合數公式和等比數列的通項公式進行化簡，再利用平方差和立方差公式合并．
（2）利用歸納推理和（1）的結果進行推理出結論，利用二項式定理從左邊到右邊證明．
（3）由題意知數列{a_n}是等比數列，而且q≠1，求出s_n代入所給的式子，進行整理和分組，再利用二項式定理求解．

解答：解：（1）a₁C₂⁰-a₂C₂¹+a₃C₂²=a₁-2a₁q+a₁q²
=a₁（1-q）²
a₁C₃⁰-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³
=a₁（1-q）²a₁C₃⁰-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³
=a₁-3a₁q+3a₁q²-a₁q³
=a₁（1-q）³；
（2）歸納概括的結論為：若數列{a_n}是首項為a₁，公比為q的等比數列，
則a₁C_n⁰-a₂C_n¹+a₃C_n²-a₄C_n³+…+（-1）ⁿa_n+1C_nⁿ=a₁（1-q）ⁿ，n為正整數
證明：a₁C_n⁰-a₂C_n¹+a₃C_n²-a₄C_n³+…+（-1）ⁿa_n+1C_nⁿ
=a₁C_n⁰-a₁qC_n¹+a₁q²C_n²-a₁q³C_n³+…+（-1）ⁿa₁qⁿC_nⁿ
=a₁[C_n⁰-qC_n¹+q²C_n²-q³C_n³+…+（-1）ⁿqⁿC_nⁿ]
=a₁（1-q）ⁿ；
∴左邊=右邊，該結論成立．
（3）∵數列{a_n}（n為正整數）是首項是a₁，公比為q的等比數列，而且q≠1．
∴Sn=

a1-a1qn

1-q

=

a1(1-qn)

1-q

，
∴S₁C_n⁰-S₂C_n¹+S₃C_n²-S₄C_n³+…+（-1）ⁿS_n+1C_nⁿ
=

a1

1-q

[（1-q）c_n⁰-（1-q²）c_n¹+（1-q³）c_n²-（1-q⁴）c_n³+…+（-1）ⁿ（1-qⁿ⁺¹）c_nⁿ]
=

a1

1-q

[

C

0 n

-

C

1 n

+

C

2 n

-

C

3 n

+…+(-1)n

C

n n

]-

a1q

1-q

[

C

0 n

-q

C

1 n

+q2

C

2 n

-q3

C

3 n

+…+(-1)nqn

C

n n

]
=

a1q

q-1

(1-q)n．

點評：本題為等比數列和二項式定理的綜合應用，還用到組合數公式，計算量大；在化簡式子時根據特點進行分組求解，利用二項式定理進行化簡．