Question

離心率為

1

2

的橢圓C₁與雙曲線C₂有相同的焦點，且橢圓長軸的端點、短軸的端點、焦點到雙曲線的一條漸近線的距離依次構成等差數列，則雙曲線C₂的離心率等于（　　）

A． 15 3

B． 15 5

C． 21 3

D． 21 7

Answer 1

設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），雙曲線方程為

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）
它們一個公共的焦點為F（c，0）
∵橢圓長軸端點A到雙曲線的漸近線nx-my=0的距離|AC|=

an

n2+m2

=

an

c

=2n，
橢圓短軸端點B到雙曲線的漸近線nx-my=0的距離|BD|=

bm

c

橢圓焦點F到雙曲線的漸近線nx-my=0的距離|FG|=

cn

c

=n，
∴2•

bm

c

=2n+n，
∵

c

a

=

1

2

，
∴a=2c，
∴b=

a2-c2

=

3

c，
∴2

3

m=3n，
∴m=

3

2

n，
∴c=

m2+n2

=

7

2

n，
∴e=

c

m

=

7 2 n

3 2 n

=

21

3

．
故選：C．