Question

若實數a，b，c，d滿足ab=2，c+2d=0，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：分別畫出函數y=

2

x

，y=-2x的圖象，設直線y=-2x+t與曲線y=

2

x

相切于第一象限內的點P（m，n），則點P到直線y=-2x的距離即為所求．

解答： 解：分別畫出函數y=

2

x

，y=-2x的圖象，
設直線y=-2x+t與曲線y=

2

x

相切于第一象限內的點P（m，n），
∵y′=-

2

x2

，∴-

2

m2

=-2，解得m=1，∴n=

2

1

=2．
∴切點為（1，2）．
由點到直線的距離公式可得d=

|2×1+2|

22+12

=

4 5

5

．
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值為(

4 5

5

)2，化為

16

5

．
故答案為：

16

5

．

點評：本題考查了數形結合的思想方法、導數的幾何意義、曲線的切線方程、轉化方法等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．