Question

A．（幾何證明選講選做題） 如圖，已知AB為圓O的直徑，BC切圓O于點B，AC交圓O于點P，E為線段BC的中點．求證：OP⊥PE．

B．（矩陣與變換選做題） 已知M＝，N＝，設曲線y＝sinx在矩陣MN對應的變換作用下得到曲線F，求F的方程．

C．（坐標系與參數方程選做題） 在平面直角坐標系xOy中，直線m的參數方程為（t為參數）；在以O為極點、射線Ox為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρsinθ＝8cosθ．若直線m與曲線C交于A、B兩點，求線段AB的長．

D．（不等式選做題）

設x，y均為正數，且x＞y，求證：2x＋≥2y＋3．

Answer 1

A、對于平面幾何中垂直的證明，一般采用相似法，或者是圓內的性質來得到，該試題主要是分析得到弦切角定理的運用。
B、曲線F的方程為.
C、
D、對于不等式的證明，一般可以運用作差法也可以結合均值不等式的性質來得到，難點是構造定值。

試題分析：A. 解：因為AB是圓O的直徑，
所以∠APB＝90°，從而∠BPC＝90°．          2分　　　　
在△BPC中，因為E是邊BC的中點，所以BE＝EC，從
而BE＝EP，因此∠1＝∠3．                  5分   
又因為B、P為圓O上的點，所以OB＝OP，從而∠2＝ 
∠4．                                     7分
因為BC切圓O于點B，所以∠ABC＝90°，即∠1+∠2=90°，
從而∠3+∠4=90°，于是∠OPE＝90°．                              9分
所以OP⊥PE．                                                 10分
B. 解：由題設得.                          4分
設所求曲線F上任意一點的坐標為（x,y），上任意一點的坐標為，則
MN＝，解得 .                7分
把代入，化簡得.
所以，曲線F的方程為.                                 10分
C. 解：直線m的普通方程為.                                   2分
曲線C的普通方程為.                                       4分
由題設直線m與曲線C交于A、B兩點，可令,.
聯立方程，解得，則有，.  7分
于是.
故 .                                                  10分
D． 證明：由題設x＞0，y＞0，x＞y，可得x－y＞0.                        2分
因為2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋ . 
5分
又(x－y)＋(x－y)＋，等號成立條件是x－y＝1 . 
9分
所以，2x＋－2y≥3，即2x＋≥2y＋3．            10分
點評：解決這類問題，一般要結合基本的知識來得到，試題難度不大，屬于基礎題。注意積累該方面的做題方法。