Question

我們把焦點相同，且離心率互為倒數的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”．已知、是一對相關曲線的焦點，是它們在第一象限的交點，當時，這一對相關曲線中雙曲線的離心率是（　　）
．            ．             ．            ．

Answer 1

A

試題分析：設F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c，由余弦定理4c²=m²+n²-mn，設a₁是橢圓的長半軸，a₁是雙曲線的實半軸，由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a₁，m-n=2a₁，由此能求出結果．解：設F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c，由余弦定理得（2c）²=m²+n²-2mncos60°，即4c²=m²+n²-mn，設a₁是橢圓的長半軸，a₁是雙曲線的實半軸，由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a₁，m-n=2a₁，∴m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，將它們及離心率互為倒數關系代入前式得a₁²-4a₁a₂+a₁²=0， a₁=3a₂，e₁•e₂= 解得e₂=．故選A．
點評：本題考查雙曲線和橢圓的簡單性質，解題時要認真審題，注意正確理解“相關曲線”的概念．