Question

設曲線C：x²-y²=1上的點P到點A_n（0，a_n）的距離的最小值為d_n，若a=0，a_n=d_n-1，n∈N*．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設點B_n（a_n，a_n+1）到直線l_n：x-y+=0的距離為t_n，證明：對?n∈N*，都有不等式：t₁+t₂+…+t_n＜成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）設點P（x，y），利用兩點間的距離公式，采用配方法可得d_n=，再根據a_n=d_n-1，可得d_n=，從而可得數列{}是首項為2，公差為2的等差數列，進而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）先證明t_n=，進而疊加，利用放縮法，即可證得結論．
解答：（1）解：設點P（x，y），則x²-y²=1，所以|PA_n|===，
因為y∈R，所以當y=時，|PA_n|取得最小值d_n，且d_n=，
又a_n=d_n-1，∴a_n+1=d_n，∴d_n=
∴
兩邊平方得-=2，又a=0，∴=2
故數列{}是首項為2，公差為2的等差數列，所以=2n，
∵a_n＞0，∴；
（2）證明：==
∴t_n=
∴t₁+t₂+…+t_n=1-+++…+
∵
∴+…+＜-1+-+…+-=-1
∴t₁+t₂+…+t_n＜1-++-1＜．
點評：本題考查數列的通項，考查數列與不等式的綜合，考查放縮法的運用，解題的關鍵是根據目標，適當放縮，難度較大．