Question

設曲線C：x²-y²=1上的點P到點A_n（0，a_n）的距離的最小值為d_n，若a=0，，n∈N^*．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）是否存在常數M，使得對?n∈N^*，都有不等式：成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據曲線C：x²-y²=1上的點P到點A_n（0，a_n）的距離的最小值為d_n，設點P（x，y），利用兩點間的距離公式，再采用配方法可得，再根據，可得，從而可得，從而數列是首項，公差為2的等差數列，進而可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）先判斷a_2n+2a_2n-1＜a_2n+1a_2n，從而有，所以，疊加可得結論；
（Ⅲ）先證明，從而可得，進而可知存在常數，對?n∈N^*，都有不等式：成立．
解答：（Ⅰ）解：設點P（x，y），則x²-y²=1，所以，
因為y∈R，所以當時，|PA_n|取得最小值d_n，且，
又，所以，即
將代入得
兩邊平方得，又a=0，
故數列是首項，公差為2的等差數列，所以，
因為＞0，所以．…（6分）
（Ⅱ）證明：因為（2n+2）（2n-1）-2n（2n+1）=-2＜0，
所以（2n+2）（2n-1）＜2n（2n+1）
所以，所以a_2n+2a_2n-1＜a_2n+1a_2n
所以，所以
以上n個不等式相加得．…（10分）
（Ⅲ）解：因為，當k≥2時，，
因為，
所以
所以，
所以．
故存在常數，對?n∈N^*，都有不等式：成立．…（14分）
點評：本題考查數列的通項，考查數列與不等式的綜合，考查放縮法的運用，解題的關鍵是根據目標，適當放縮，難度較大．