Question

【題目】如圖（1），在等腰梯形中， ， 是梯形的高， ， ，現(xiàn)將梯形沿， 折起，使且，得一簡(jiǎn)單組合體如 圖（2）示，已知， 分別為， 的中點(diǎn)．

（1）求證： 平面；

（2）若直線與平面所成角的正切值為，求平面與平面所成的銳二面角大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：

(1)利用題意結(jié)合幾何關(guān)系可得： ，結(jié)合線面平行的判斷定理可得： 平面.

(2)利用題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面與平面的法向量，據(jù)此可得平面與平面所成銳二面角的大小為.

試題解析：

（1）連，∵四邊形是矩形， 為中點(diǎn)，∴為中點(diǎn)，

在中， 為中點(diǎn)，故，又∵平面， 平面，∴平面.

（2）依題意知， ，且，

∴平面，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

∴在面上的射影是，∴為與平面所成的角，

∴，∴， ，

設(shè)且，分別以， ， 所在的直線為， , 軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則， ， ， ，

， ， ， ，

設(shè)， 分別是平面與平面的法向量

令， ，即， ，

取， ，則，∴平面與平面所成銳二面角的大小為.