Question

（1）求經過點P（-3，2

7

）和Q（-6

2

，-7）的雙曲線的標準方程；
（2）已知雙曲線與橢圓

x2

27

-

y2

36

=1有共同的焦點，且與橢圓相交，一個交點A的縱坐標為4，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）設雙曲線方程為：nx²+my²=1，（mn＜0），結合點A和B在雙曲線上，可得關于m與n的方程組，求出m與n的值即可得到答案．
（2）根據橢圓的標準方程，故有焦點為F₁（0，-3），F₂（0，3），由此設出雙曲線的方程，再由雙曲線與橢圓的一個交點的縱坐標為4，求出此點的橫坐標，將此點的坐標代入方程，求出參數即得雙曲線方程，再由其性質求漸近線方程即可．

解答：解　（1）設雙曲線的標準方程為nx²+my²=1（m•n＜0），
又雙曲線經過點P（-3，2

7

）和Q（-6

2

，-7），
所以

28m+9n=1 49m+72n=1

解得

m= 1 25 n=- 1 75

所以所求的雙曲線的標準方程為

y2

25

-

x2

75

=1．
（2）因為橢圓

x2

27

-

y2

36

=1的焦點為（0，-3），（0，3），A點的坐標為（±

15

，4），
設雙曲線的標準方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），
所以

a2+b2=9 16 a2 - 15 b2 =1

解得

a2=4 b2=5

所以所求的雙曲線的標準方程為

y2

4

-

x2

5

=1．

點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關鍵是兩者共同的特征設出雙曲線的標準方程，解題時要善于抓住問題的關鍵點．