Question

如圖示,四棱錐P----ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA^CD，PA = 1， PD = ,E為PD上一點，PE = 2ED.
(1)  求證：PA ^平面ABCD；
(2)  求二面角D---AC---E的正切值；
(3) 在側棱PC上是否存在一點F，使得BF // 平面AEC？若存在，指出F點的位置，并證明；若不存在，
說明理由.

Answer 1

解：(1)  PA =" PD" =" 1" ,PD =" 2" ,
 PA² + AD² = PD², 即：PA ^ AD---2分
又PA ^ CD , AD , CD 相交于點D,

 PA ^平面ABCD-------4分
（2）過E作EG//PA 交AD于G，從而EG ^平面ABCD，
且AG =" 2GD" , EG = ,PA = , ------5分
連接BD交AC于O, 過G作GH//OD ，交AC于H，
連接EH. GH ^ AC , EH ^ AC ,
Ð EHG為二面角D—AC―E的平面角.-----6分
tanÐEHG == . -------8分
(3)以AB , AD , PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系]
則A（0 ，0， 0），B（1，0，0） ，C（1，1，0），P（0，0，1），E（0 , ,）, =" (1,1,0),"  =" (0" , , )---9分
設平面AEC的法向量=" (x," y,z) , 則
 ，即：， 令y =" 1" ,
則 =" (-" 1,1, - 2 )-------------10分
假設側棱PC上存在一點F, 且＝  ，
（0 £ £ 1）, 使得：BF//平面AEC, 則× ＝ 0. 又因為：＝ +  ＝ （0 ，1，0）+
(-,-,)= (-,1-,),× ＝+ 1- - 2 =" 0" ,  = ,所以存在PD的中點F,
使得BF//平面AEC. ----------------12分

略