Question

（本題滿分14分）已知四棱錐中，，底面是邊長為的菱形，，．
（I）求證：；
（II）設與交于點，為中點，若二面角的正切值為，求的值．

Answer 1

解：（I）因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD
又ABCD為菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC
從而平面PBD⊥平面PAC．   ……………6分
（II）過O作OH⊥PM交PM于H，連HD
因為DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD為A-PM-D的平面角
又，且
從而

所以，即．      ………………………14分

法二：如圖,以為原點,所在直線為軸,軸建立空間直角坐標系，則,, …………8分
從而
因為BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一個法向量為．  
設平面PMD的法向量為,由得

取，即 ……………11分
設與的夾角為，則二面角大小與相等
從而，得

從而，即．                ……………14分

略