Question

【題目】如圖，三棱柱中，D是的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且，，平面平面.求平面與側(cè)面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接，記，連接，證明得到答案.

（2）證明，，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面和平面的法向量，利用向量夾角公式得到答案.

（1）連接，記，連接，故為中點(diǎn)，

D是的中點(diǎn)，所以，又平面，平面.

故平面.

（2）取邊中點(diǎn)點(diǎn)O，連接，，因?yàn)?/span>，為等邊三角形，，所以，，

又平面平面，且平面平面，

平面，所以，，兩兩互相垂直.

故以O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

則由題意可知，，.

設(shè)平面的法向量，則，即，

令，解得，得.

顯然平面的一個(gè)法向量為.

∴，

∴二面角的正弦值為.