Question

【題目】橢圓： 的離心率為，過右焦點垂直于軸的直線與橢圓交于， 兩點且，又過左焦點任作直線交橢圓于點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）橢圓上兩點， 關于直線對稱，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

(1)由題意求得， ，∴橢圓的方程為．

(2)當直線斜率存在且時，聯立直線與橢圓的方程計算可得假設 不成立；

當直線的斜率時，面積函數，結合橢圓方程和均值不等式的結論可得面積的最大值為.

試題解析：

（Ⅰ）由條件有，∴，又，且，

∴， ，∴橢圓的方程為．

（Ⅱ）依題意直線不垂直軸，當直線的斜率時，可設直線的方程為（），則直線的方程為．

由得，

，即，①

設的中點為，則， ，

點在直線上，∴，故，②

此時與①矛盾，故時不成立．

當直線的斜率時， ， （， ），

的面積，

∵，

∴，

∴面積的最大值為，當且僅當時取等號．