Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓：上的點(diǎn)，過點(diǎn)的直線的方程為.

（1）求橢圓的離心率；

（2）當(dāng)時，

（i）設(shè)直線與軸、軸分別相交于，兩點(diǎn)，求的最小值；

（ii）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求證：點(diǎn)，，三點(diǎn)共線.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）（ii）證明見解析

【解析】

（1）由橢圓方程求出可得離心率；

（2）（i）求出直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出面積為，由在橢圓上，可得，由基本不等式可得的最大值，從而得面積最小值；

（ii）求出對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，驗(yàn)證三點(diǎn)共線．可分類和分別求解．

（1）依題，，

所以橢圓離心率為.

（2）依題意，令，由，得，則.

令，由，得，則.

則的面積.

因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以.

因?yàn)?/span>，即，則.

所以.

當(dāng)且僅當(dāng)，即，，面積的最小值為.

（3）由，解得.

①當(dāng)時，，，此時，.

因?yàn)?/span>，所以三點(diǎn)，，共線.

當(dāng)時，也滿足.

②當(dāng)時，設(shè)，，的中點(diǎn)為，則，代入直線的方程，得：

.

設(shè)直線的斜率為，則，

所以.

由，解得，.

所以.

當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時，把，代入中得，則，，三點(diǎn)共線.

當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)不相等時，

直線的斜率為.由，.

所以直線的斜率為

.

因?yàn)?/span>，所以，，三點(diǎn)共線，

綜上所述，，三點(diǎn)共線.