Question

【題目】在直角坐標系中，已知定點、，動點滿足，設點的曲線為，直線與交于兩點.

（1）寫出曲線的方程，并指出曲線的軌跡；

（2）當，求實數的取值范圍；

（3）證明：存在直線，滿足，并求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），曲線的軌跡是以、為焦點的雙曲線的上支；（2）或；（3）詳見解析，，

【解析】

（1）結合雙曲線的定義，可知點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的上支，求出軌跡方程即可；

（2）將直線與的方程聯立，消去，可得到關于的一元二次方程，令，求解即可；

（3）聯立直線與的方程，得到關于的一元二次方程，由，可得，設，則，結合根與系數關系，可得到，若存在符合題意的直線，還需要滿足以下三個條件：①；②；③，求解即可.

（1）動點滿足，且、，所以點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的上支，，，，

所以曲線的方程為；

（2）由題意，聯立，消去，得，

，解得或.

故的取值范圍是或.

（3）因為，所以，設，則.

聯立，可得，，

則，，

所以，整理得.

若存在符合題意的直線，還需要滿足以下三個條件：①；②；③.

①，整理得，又，則，顯然恒成立；

②，等價于，

因為恒成立，所以，即；

③，由②知，所以.

所以滿足，即.

又因為，所以，且，故.

所以存在直線，滿足，的取值范圍為：，的取值范圍為：.