Question

【題目】已知是數列的前項和，對任意，都有；

（1）若，求證：數列是等差數列，并求此時數列的通項公式；

（2）若，求證：數列是等比數列，并求此時數列的通項公式；

（3）設，若，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）；（3）.

【解析】

（1）將代入，得，令，求出，然后令，由得出，兩式作差可得出數列的遞推公式，然后利用定義證明出數列是等差數列，確定該數列的首項，即可求出；

（2）令求出，然后令，由得出，兩式相減得出數列的遞推公式，然后利用定義證明出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，即可求出；

（3）結合（1）（2）中的結論，討論、、、、，結合條件，利用數列的單調性，即可得出實數的取值范圍.

（1）將代入，得，即.

當時，則有，得；

當時， 由得出，

上述兩式相減得，

整理得，等式兩邊同時除以得，即，

所以，數列是以首項為為首項，以為公差的等差數列，

則，因此，；

（2）對任意，都有.

當時，，解得；

當時，由得出，

兩式相減得，

化簡得，

，

所以，數列是以為公比，以為首項的等比數列，則，因此，；

（3），且.

當時，，當時，，不滿足條件；

則，可得，

可得，

顯然時，數列單調遞增，不滿足條件，.

當時，則有顯然成立；

當時，若，則數列的最大項為，

，即恒成立；

當時，數列的最大項為，

則滿足條件；

當時，，數列的最大項為，不滿足條件；

綜上所述，實數的取值范圍是.