Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x2+bx+b） （b∈R）
（1）當(dāng)b=4時(shí)，求f（x）的極值；
（2）若f（x）在區(qū)間（0， ）上單調(diào)遞增，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)b=4時(shí)，f（x）=（x2+4x+4） = （x ），

則 = ．

由f′（x）=0，得x=﹣2或x=0．

當(dāng)x＜﹣2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上為減函數(shù)．

當(dāng)﹣2＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（﹣2，0）上為增函數(shù)．

當(dāng)0＜x＜ 時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0， ）上為減函數(shù)．

∴當(dāng)x=﹣2時(shí)，f（x）取極小值為0．

當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取極大值為4

（2）解：由f（x）=（x2+bx+b） ，得：

= ．

由f（x）在區(qū)間（0， ）上單調(diào)遞增，

得f′（x）≥0對(duì)任意x∈（0， ）恒成立．

即﹣5x2﹣3bx+2x≥0對(duì)任意x∈（0， ）恒成立．

∴ 對(duì)任意x∈（0， ）恒成立．

∵ ．

∴ ．

∴b的取值范圍是

【解析】（1）把b=4代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而求得極值；（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（0， ）上大于等于0恒成立，得到 對(duì)任意x∈（0， ）恒成立．由單調(diào)性求出 的范圍得答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．