Question

【題目】如圖，三棱柱中，平面，，.以，為鄰邊作平行四邊形，連接和.

（1）求證：平面；

（2）若二面角為45°，

①證明：平面平面；

②求直線與平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②.

【解析】

（1）連接，證明，再利用線面平行的判定定理證明.

（2）①取CD的中點O，連接，易證為二面角的平面角，得到，結合平面，得到，從而得到平面，再利用，由面面垂直的判定定理證明，②過A作，根據平面平面，得到平面，可知是直線與平面所成角，然后在中求解.

（1）如圖所示

連接，在平行四邊形ABCD中，，

在三棱柱中，又，

所以，

所以四邊形是平行四邊形，

所以，又平面，平面，

所以平面；

（2）①取CD的中點O，連接，因為，

所以，又因為平面，

所以，，

所以平面，

所以，

所以為二面角的平面角，

在中，，，

所以，又因為，

所以平面，

又因為平面，

所以平面平面；

②過A作，因為平面平面，

所以平面，

所以是在平面上的射影，

所以是直線與平面所成角，

在中，，

.