Question

【題目】已知函數．

（1）證明：當時，恒成立；

（2）若函數在上只有一個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）或

【解析】

（1）對函數求導，得到函數的最小值為2，即可證明.

（2對a分類討論，易得a=0時無零點，a<0和a>0時求函數的導數，判斷函數的單調性和極值，通過分析特殊點的函數值即可得到結論．

（1）f′（x）=，

令f′（x）=0，得到x=0,

當x<0時，f′（x）<0，單調遞減，

當x>0時，f′（x）>0，單調遞增, ∴在x=0處取得最小值.

,

∴.

（2）當a=0時，>0恒成立，無零點，與題意不符；

當a<0時，f′（x）=,在R上單調遞增,

又x=時,=-1+a<1-1+a<0,x=1時，=e>0，

根據零點存在性定理，在R上有唯一零點，

當a>0時，f′（x）=

令f′（x）=，x=lna,

，f(x)單減，

，f(x)單增，

在x=lna處取得最小值，f（lna）=a-a(lna-1)=a(2-lna)=0，

Lna=2，所以a=

∴當a<0或a=時，在R上有唯一的零點.