Question

設函數f（x）=x²-1．對任意x∈[

3

2

，+∞），f（

x

sinθ

）-（4sin²θ）f（x）≤f（x-1）+4f（sinθ），恒成立，若θ∈（0，π），求θ的范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：解：令sinθ=m，不等式化為關于m的等式，根據x²＞0，建立不等式轉換為1-

1

m2

+4m2≥g(x)，對任意x∈[

3

2

，+∞)恒成立．設u=

1

x

，則0＜u≤

2

3

．函數g（x）=h（u）=3u²+2u在區間(0，

2

3

]上是增函數，因而在u=

2

3

處取得最大值取得最大值，進而求得m的范圍，即sinθ的范圍最后求得θ的范圍．

解答： 解：令sinθ=m，不等式化為f(x-1)+4f(m)-f(

x

m

)+4m2f(x)≥0，即(x-1)2-1+4m2-4-

x2

m2

+1+4m2x2-4m2≥0，
整理得(1-

1

m2

+4m2)x2-2x-3≥0，
∵x²＞0，
∴1-

1

m2

+4m2≥

2x+3

x2

，設g(x)=

2x+3

x2

，x∈[

3

2

，+∞)．
∴1-

1

m2

+4m2≥g(x)，對任意x∈[

3

2

，+∞)恒成立．
設u=

1

x

，則0＜u≤

2

3

．
函數g（x）=h（u）=3u²+2u在區間(0，

2

3

]上是增函數，
∴在u=

2

3

處取得最大值．h(

2

3

)=3×

4

9

+

2×2

3

=

8

3

，
∴1-

1

m2

+4m2≥umax(x)=

8

3

，
整理得12m⁴-5m²-3≥0，即（4m²-3）（3m²+1）≥0，
∴4m²-3≥0，解得m≤-

3

2

或m≥

3

2

，即sinθ≤-

3

2

或sinθ≥

3

2

，
∵θ∈（0，π），
∴sinθ＞0
∴sinθ≥

3

2

．          
θ∈[

π

3

，

2π

3

]

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數圖象與性質，方程思想在三角函數中的應用．綜合性很強．