Question

已知函數f（x）=ax+

1

x

+（1-a）lnx．
（Ⅰ）當a=2時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若a≤0，討論函數求f（x）的單調性；
（Ⅲ）若關于x的方程f（x）=ax在（0，1）上有兩個相異實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用導數求得切線斜率，寫出切線方程；
（2）利用導數判斷函數的單調性，注意對a分類討論；
（3）由f（x）=ax得a=

1

xlnx

+1 （0＜x＜1），令g（x）=

1

xlnx

+1 （0＜x＜1），利用導數求得g（x）的極值即得結論．

解答： 解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=2x+

1

x

-lnx，f′（x）=2-

1

x2

-

1

x

，
∴f（1）=3，f′（1）=0，
∴曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=3．
（Ⅱ）f′（x）=a-

1

x2

+

1-a

x

=

ax2+(1-a)x-1

x2

  （x＞0），
①當a=0時，f（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增；
若a≠0，f′（x）=

ax2+(1-a)x-1

x2

=0，解得x=1或x=-

1

a

，
②當-1＜a＜0時，f（x）在（0，1）和（-

1

a

，+∞）單調遞減，在（1，-

1

a

）單調遞增；
③當a=-1時，f（x）在（0，+∞）單調遞減；
④當a＜-1時，f（x）在（0，-

1

a

）和（1，+∞）單調遞減，在（-

1

a

，1）單調遞增；
（Ⅲ）當f（x）=ax時，

1

x

=（1-a）lnx=0，∴a=

1

xlnx

+1 （0＜x＜1），
令g（x）=

1

xlnx

+1 （0＜x＜1），g′（x）=

-(lnx+1)

(xlnx)2

=0，解得x=

1

e

．
∴當x=

1

e

時，g（x）有極大值1-e，
∴實數a的取值范圍是（-∞，1-e）．

點評：本題主要考查利用導數研究曲線的切線問題及判斷函數的單調性求極值問題，考查轉化劃歸思想及分類討論思想的運用能力，屬難題．