Question

已知函數．
（1）設是函數的極值點，求的值并討論的單調性；
（2）當時，證明：＞．

Answer 1

（1）函數 在上單調遞減，在上單調遞增．
（2）見解析.

試題分析：（1）根據是的極值點得，可得導函數值為0，即，求得．進一步討論導函數為正、負的區間，即得解；
（2）可以有兩種思路，一種是注意到當，時，，
轉化成證明當時，＞．
研究函數當時， 取得最小值且．
證得，==．
得證.
第二種思路是：當，時，，根據,轉化成．
構造函數，研究得到函數在時取唯一的極小值即最小值為．達到證明目的.
試題解析：（1），由是的極值點得，
即，所以．　　　                   ２分
于是，，
由知 在上單調遞增，且，
所以是的唯一零點．                    ４分
因此，當時，；當時，，所以，函數 在上單調遞減，在上單調遞增．            ６分
（2）解法一：當，時，，
故只需證明當時，＞．　           ８分
當時，函數在上單調遞增，
又，
故在上有唯一實根，且．       10分
當時，；當時，，
從而當時， 取得最小值且．
由得,．             12分
故
==．
綜上，當時，．　          14分
解法二：當，時，，又,所以
．　                  ８分
取函數，，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，得函數在時取唯一的極小值即最小值為．　  12分
所以，而上式三個不等號不能同時成立，故＞．             14分