Question

如圖已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且過點A（0，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于M，N兩點．求證：直線恒過定點P．并求點P的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且過點A（0，1），求出a，b，即可求橢圓的方程；
（2）設直線l₁的方程為y=kx+1，聯立橢圓方程，求出M，N的坐標，可得kMP=

yM+ 3 5

xM

=

k2-1

5k

，kNP=

yN+ 3 5

xN

=

k2-1

5k

，k_MP=k_NP．即可證明結論．

解答： 解：（1）因為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且過點A（0，1）．
所以b=1，

c

a

=

3

2

，
所以a=2，b=1
所以橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1…（3分）
（2）直線MN恒過定點P（0，-

3

5

)，下面給予證明：
設直線l₁的方程為y=kx+1，聯立橢圓方程，消去y得；（4k²+1）x²+8kx=0，
解得xM=-

8k

4k2+1

，yM=

1-4k2

4k2+1

同理可得：xN=

8k

k2+4

，yN=

k2-4

k2+4

…（8分）
kMP=

yM+ 3 5

xM

=

k2-1

5k

，kNP=

yN+ 3 5

xN

=

k2-1

5k

∴k_MP=k_NP．
故直線MN恒過定點P （0，-

3

5

）．…（12分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．