Question

【題目】已知函數f（x）=2sinx（ ）．
（1）求函數f（x）在（ ）上的值域；
（2）在△ABC中，f（C）=0，且sinB=sinAsinC，求tanA的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=2sinx（ ）．

化簡可得：f（x）=2 sinxcosx﹣2sin2x= sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+ ）﹣1．

∵x∈（ ）上時，

可得：2x+ ∈（ ， ）．

∴ ＜sin（2x+ ）≤1

故得函數f（x）在（ ）上的值域為（﹣2，1]．

（2）解：∵f（x）=2sin（2x+ ）﹣1，

∵f（C）=0，

即sin（2C+ ）= ．

∵0＜C＜π，

∴2C+ = ．

得：C= ．

∵sinB=sinAsinC，

可得sin（A+C）=sinAsinC，

∴sin（A+ ）=sinAsin ．

得：（ ）sinA= cosA．

那么：tanA= = ．

【解析】（1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，x∈（ ）上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，即得到f（x）的值域．（2）根據f（C）=0求出角C，sinB=sinAsinC=sin（A+C）利用和與差公式，即可求tanA的值．