Question

【題目】新型冠狀病毒（SARS-COV-2）是2019年在人體中發現的冠狀病毒新毒株，主要通過呼吸道飛沫進行傳播，鑒于其特殊的傳播途徑，某科學醫療機構發現一次性醫用口罩起著一定的防護作用一般，口罩在投入市場前需做一系列的檢測，其中罩體污點、鼻梁條缺陷、耳繩異常等常規瑕疵肉眼可見，而耳繩尤為關鍵，會出現耳繩缺失、錯位、錯熔、漏熔四種情況 .現在生產商大多采用全自動生產線生產口罩，某工廠現有甲（1臺本體機拖2臺耳帶機）和乙（1臺本體機拖3臺耳帶機）兩條生產線，已知甲生產線的日產量為7萬只，乙生產線的日產量為10萬只，生產商為了了解是否有必要更換原有的甲生產線，在設備生產狀況相同，不計其他影響的狀態下，分別統計了兩條生產線生產的1000只口罩的耳繩情況，得到的統計數據如下：

耳繩情況	合格	缺失	錯位	錯熔	漏熔
甲生產線	950	9	19	11	11
乙生產線	900	19	35	25	21

（1）從乙生產線生產的1000只口罩中隨機抽取3只，將合格品的只數記為，求的分布列和數學期望；

（2）假設口罩的生產成本為0.4元/只，若耳繩發生缺陷時可通過人工修復至合格來挽回損失。耳繩缺失、漏熔時人工修復費為0.01元/只；錯位與錯熔時需更換耳繩，其中耳繩成本為0.06元/根，人工修復費為0.02元/只．

①以修復費的平均數作為判斷依據，判斷哪一條生產線在每日生產過程中挽回損失時所需費用較少？

②若經一次檢驗就合格的口罩，生產商以1元/只的批發價銷售給市場，經人工修復的打八折出售。以該工廠的日平均收入為依據分析該生產商是否有必要更換甲生產線？

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）①甲生產線在每日生產過程中挽回損失時所需費用較少；②有必要更換甲生產線

【解析】

（1）求乙生產線的合格頻率，以頻率為概率，乙生產線合格的概率為，不合格的概率為，隨機變量的取值為：，分別用二項分布求概率即可，列出分布列和求數學期望.

（2）①甲生產線1000產品中，不合格為50件.求缺失、漏熔共有20件，按照人工修復費為0.01元/只；錯位與錯熔時需更換耳繩的共有30件，人工修復費共為0.08元/只，求出總修復費用，再求平均數即可.乙生產線同理可得.比較大小即可.

②甲、乙日平均收入為：合格產品的收入+不合格產品的收入-不合格產品的修復費用.

得出甲收入，乙收入，乙比甲多11682，所以有必要更換甲生產線.

（1）乙生產線產品合格的頻率為：

以頻率為概率，乙生產線合格的概率為，不合格的概率為，

，

分布列為：

	0	1	2	3

（2）

①甲生產線修復費的平均數為：

乙生產線修復費的平均數為：

甲生產線在每日生產過程中挽回損失時所需費用元

乙生產線在每日生產過程中挽回損失時所需費用元

所以，甲生產線在每日生產過程中挽回損失時所需費用較少.

②甲日平均收入：

乙日平均收入：

乙比甲多11682，所以有必要更換甲生產線.