Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側面為邊長為的菱形，側面為矩形，其中且，平面，點為的中點．

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）由為菱形和，可得為等邊三角形，進而證明，又平面，可得，進而可得平面；

（2）由（1）可得，平面，建立空間直接坐標系，通過為邊長為的菱形和，求點F，A，C，E的坐標，進而求平面的法向量，得出二面角的余弦值.

（1）因為為菱形，所以

又因為，所以為等邊三角形，

點為的中點，所以；

又因為平面，面，所以；

因為，

所以平面.

（2）

由（1）可知，，又因為為菱形，所以

因為平面，所以,

分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

，因為，所以，，

，，

設平面FAC的法向量為：

可得，令，可得， ；

設平面EAC的法向量為：

可得，令，可得，

；

二面角為銳角，所以二面角的余弦值為：