Question

【題目】給出兩塊相同的正三角形鐵皮（如圖1，圖2），

（1）要求用其中一塊剪拼成一個三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，

①請設計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖1、圖2中，并作簡要說明；

②試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小

（2）設正三角形鐵皮的邊長為，將正三角形鐵皮的三個角切去三個全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起（如圖3），做成一個無蓋的正三角形底鐵皮箱，當箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

【答案】（1）①答案見解析；②；（2）當箱子底邊長為時，箱子容積最大，最大值為．

【解析】

①可以利用正三角形的圖形特征，進行分割

②直接求解比較大小即可

(2) 設箱底邊長為，列出，利用求導的方法求出最值點，據此即可求解

解：（1）①如圖1，沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個正三棱錐．

如圖2，正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形，

其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的，

有一組對角為直角，余下部分按虛線折起，

可成一個缺上底的正三棱柱，

而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱錐的上底．

②依上面剪拼方法，有．

推理如下：

設給出正三角形紙片的邊長為2，那么，

正三棱錐與正三棱柱的底面都是邊長為1的正三角形，

其面積為．現在計算它們的高：

，．

所以．

（2）設箱底邊長為，則箱高為，

箱子的容積為﹒

由解得（舍），，

且當時，；當時，，

所以函數在處取得極大值，

這個極大值就是函數的最大值：

．

答：當箱子底邊長為時，箱子容積最大，最大值為．