Question

【題目】將邊長為3的正的各邊三等分，過每個分點分別作另外兩邊的平行線，稱的邊及這些平行線所交的10個點為格點.若在這10個格點中任取個格點，一定存在三個格點能構成一個等腰三角形（包括正三角形）.求的最小值.

Answer 1

【答案】5

【解析】

設.

設邊上從點到的兩個等分點分別為、，邊上從點到的兩個等分點分別為、，邊上從點到的兩個等分點分別為、，中間的一個格點為.

若的最小值為4，取格點、、、，則不存在三個格點能構成一個等腰三角形.

因此，.

下面證明：任取五個格點，一定存在三個格點能構成一個等腰三角形.

不妨假設被選取的點為紅點.

只要證明：一定存在一個由紅點構成的等腰三角形.

若這五個紅點中包含格點，將其他九個格點分成三個點集.

由抽屜原理知，一定存在一個點集中包含至少兩個紅點，無論是哪個點集中的哪兩個格點是紅點，均與紅點構成一個等腰三角形.

若這五個紅點中不包含格點，當格點是紅點時，在，中，如果有一個點集中包含兩個紅點，則結論成立；否則，每個點集中均恰有一個紅點.

不妨假設為紅點，則不是紅點.

若為紅點，則、不是紅點，于是，是紅點，且無論、是哪個是紅點，均與、構成一個等腰三角形.

若不是紅點，則為紅點，于是，不是紅點，是紅點，無論哪個是紅點，均可與或構成一個等腰三角形.

同理，當格點或為紅點時，結論仍然成立.

若、、、均不是紅點，則、、、、、中有五個紅點，結論顯然成立.