Question

【題目】已知函數的定義域為R，且的圖像過點.

（1）求實數b的值；

（2）若函數在上單調遞增，求實數a的取值范圍；

（3）是否存在實數a，使函數在R上的最大值為？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）由圖象變換可得f（0）＝log4b＝0，解得b；

（2）可令t，可得t＞0，且函數t在[1，+∞）上單調遞增，求出導數，由導數不小于0，解不等式即可得到a的范圍；

（3）假設存在實數a，使函數f（x）在R上的最大值為1﹣log43，即有t在R上的最大值為．將函數t整理為關于x的方程，運用判別式非負，結合二次方程的根的含義，代入，解方程即可得到a的值，檢驗即可得到所求值．

（1）y＝f（x+1）的圖象過點A（﹣1，0），

可得y＝f（x）的圖象過點（0，0），

即有f（0）＝log4b＝0，解得b＝1；

（2）可令t，

可得t＞0，且函數t在[1，+∞）上單調遞增，

由導數t′

0恒成立，

由于x≥1，可得a﹣1≤0，即a≤1，

當a＝1時，函數t＝1為常數，舍去，

故a＜1；

（3）假設存在實數a，使函數f（x）在R上的最大值為1﹣log43，

即有t在R上的最大值為．

即有（t﹣1）x2+（t﹣a）x+t﹣1＝0

由△＝（t﹣a）2﹣4（t﹣1）2≥0，

即有3t2﹣（8﹣2a）t﹣（a2﹣4）≤0，

由假設可得3（8﹣2a）（a2﹣4）＝0，

解得a＝2或，

當a＝2時，f（x）＝log4的定義域不為R，舍去，

則存在實數a為，使函數f（x）在R上的最大值為1﹣log43．