Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AB=2AD=2，∠DAB=60°，PA=PC=2，且平面ACP⊥平面ABCD．

（Ⅰ）求證：CB⊥PD；

（Ⅱ）求二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)證明；(2)

【解析】

（1）證明PO⊥平面ABCD得出PO⊥BC，利用勾股定理證明，從而BC⊥平面PBD，于是BC⊥PD；

（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面PAB和平面PBC的法向量，通過(guò)計(jì)算法向量的夾角得出二面角的大小．

解：（1）連，交于點(diǎn)，連

由平面，平面.

又

又

又

，

又

（2）由（1）知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)點(diǎn)與平面垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由（1）知，則軸.

由平面幾何知識(shí)易得，

則

于是，

設(shè)平面的法向量為.

則，即，

取，則，則

同理可求得平面的一個(gè)向量

于是

分析知二角面的余弦值為.