Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知棱，，兩兩垂直，長(zhǎng)度分別為1，2，2.若（），且向量與夾角的余弦值為.

（1）求的值；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出，的坐標(biāo)，根據(jù)空間向量夾角余弦公式列出關(guān)于的方程可求；（2）設(shè)岀平面的法向量為，根據(jù)，進(jìn)而得到，從而求出，向量的坐標(biāo)可以求出，從而可根據(jù)向量夾角余弦的公式求出，從而得和平面所成角的正弦值.

試題解析：（1）依題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系

，因?yàn)?/span>，所以，從而，則由，解得（舍去）或.

（2）易得，，設(shè)平面的法向量，

則，，即，且，所以，不妨取，則平面的一個(gè)法向量，又易得，故，所以直線與平面所成角的正弦值為.

考點(diǎn): 1、空間兩向量夾角余弦公式；2、利用向量求直線和平面說(shuō)成角的正弦.