Question

【題目】已數列的各項均為正整數，且滿足，又.

（1）求的值，猜想的通項公式并用數學歸納法證明；

（2）設，求的值；

（3）設，是否存在最大的整數，使得對任意，均有？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；

【解析】

（1）由結合遞推公式求出，以此類推求出猜測，用數學歸納法證明；

（2）由（1），求出，按數列極限運算法則，即可求解；

（3）求出，且，為遞增數列，求出最小值，即可求出結論.

（1），當時，

，解得或（舍去），

同理可得，猜想，

用數學歸納法證明如下：

①當時，通項成立；

②假設時成立，即，那么

，

所以時通項成立，根據①②可得；

（2）由（1）得

，

當，

；

（3），

為遞增數列，

故的最小值為.

假設滿足條件整數存在，使得對任意，，

只需，所以滿足條件的最大整數為7.