Question

如圖，AB為圓O的直徑，四邊形ABCD為正方形，點E、F在圓O上，AD⊥AF，AB=4，EF=AF=2
（1）求證：EF∥平面ABCD；
（2）求三棱錐B-CEF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知得∠AFB=90°，∠ABF=∠EBF=30°，從而OB=OE=BE=AF=2，進而EF∥AB，由此能證明EF∥平面ABCD．
（2）由已知得CB⊥平面BEF，且CB=4，又S△BEF=

1

2

×BE×EF×sin∠BEF，再由V_B-CEF=V_C-BEF，能求出三棱錐B-CEF的體積．

解答： （1）證明：∵AB為圓O的直徑，四邊形ABCD為正方形，
點E、F在圓O上，AD⊥AF，AB=4，EF=AF=2，
∴∠AFB=90°，∠ABF=∠EBF=30°，
∴OB=OE=BE=AF=2，
∴∠ABF=∠EFB=30°，∴EF∥AB，
又AB?平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（2）解：∵四邊形ABCD為正方形，點E、F在圓O上，AD⊥AF，
∴CB⊥平面BEF，且CB=4，
又S△BEF=

1

2

×BE×EF×sin∠BEF
=

1

2

×2×2×sin120°=

3

，
∴V_B-CEF=V_C-BEF=

1

3

S△BEF•CB=

1

3

×

3

×4=

4 3

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．