Question

【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別為棱AB、AD的中點．
（1）求證：EF平行平面CB1D1；
（2）求證：平面CAA1C1⊥平面CB1D1
（3）求直線A1C與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

【答案】證明：（1）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵E、F分別為棱AB、AD的中點，∴EF∥BD，
∵BD∥B1D1 ， ∴EF∥B1D1 ，
∵EF平面CB1D1 ， B1D1平面CB1D1 ，
∴EF∥平面CB1D1 ．
（2）∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，四邊形A1B1C1D1是正方形，
∴B1D1⊥A1C1 ， AA1⊥B1D1 ，
∵AA1∩A1C1=A1 ， B1D1⊥平面CAA1C1 ，
∴B1D1平面A1B1C1D1 ，
∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1 ．
解：（3）∵AA1⊥底面ABCD，
∴∠A1CA是直線A1C與平面ABCD所成角，
設正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為a，
則AA1=a，AC==a，
tan∠A1CA===．
∴直線A1C與平面ABCD所成角的正切值為．
【解析】（1）推導出EF∥BD，BD∥B1D1 ， 從而EF∥B1D1 ， 由此能證明EF∥平面CB1D1 ．
（2）推導出B1D1⊥A1C1 ， AA1⊥B1D1 ， 由此能證明平面CAA1C1⊥平面CB1D1 ．
（3）由AA1⊥底面ABCD，得∠A1CA是直線A1C與平面ABCD所成角，由此能求出直線A1C與平面ABCD所成角的正切值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．