Question

設函數．
（1）若時，直線l與函數f（x）和函數g（x）的圖象相切于同一點，求切線l的方程；
（2）若f（x）在[2，4]內為單調函數，求實數a的取值范圍．
說明：請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題記分．

Answer 1

解：（1）若時，
∵=，g'（x）=2x
因為直線l與函數f（x）、g（x）的圖象相切于同一點，
從而有：=2x（4分）
解得，（x=-1不在定義域內，故舍去）
又f'（1）=2，f（1）=1，
，，
g'（1）=2，g（1）=1；
，．
①當x=1時，則l的方程為：y=2x-1
②當時，又因為點也在f（x）的圖象上，
所以l的方程為．
綜上所述直線l的方程為y=2x-1或．
（2）∵=，
要使f（x）在[2，4]為單調增函數，則f′（x）≥0在[2，4]恒成立，
即≥0在[2，4]恒成立，即ax²+2x-a≥0在[2，4]恒成立，
又a（x²-1）≥-2x即（2≤x≤4）（8分）
設（2≤x≤4），
因為＜0（x＞0），
所以u（x）在（0，+∞）上單調遞減．
∴當2≤x≤4時，∈[-，-]
所以要使（2≤x≤4），
只須當時即可，（10分）
同理要為f（x）單調減函數，則f′（x）≤0在[2，4]恒成立，
易得，
綜上，f（x）在[2，4]為單調函數，
則a的取值范圍為或（12分）．
分析：（1）由f（x）求出其導函數，把切點的橫坐標代入導函數中即可表示出切線的斜率，兩次求出的斜率相等列出關于切點的橫坐標x的方程，求出切點的坐標，根據得出的切點坐標，同時由f（x）求出其導函數，把切點的橫坐標代入導函數中即可表示出切線的斜率，根據切點坐標和切線過原點寫出切線方程即可．
（2）通過解f′（x），求其單調區間，轉化為恒成立問題求a的取值范圍．
點評：對于已知函數單調性，求參數范圍問題的常見解法；設函數f（x）在（a，b）上可導，若f（x）在（a，b）上是增函數，則可得f′（x）≥0，從而建立了關于待求參數的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是減函數，，則可得f′（x）≤0．