Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數，且對任意x∈R都有f（x+2）＝f（2﹣x）+3f（2），且f（5）＝﹣3，則f（2019）的值為（ ）

A.6B.﹣3C.0D.3

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據題意，在f（x+2）＝f（2﹣x）+3f（2）中，令x＝0變形可得f（2）＝0，即可得f（x+2）＝f（2﹣x），結合函數奇偶性可得f（x+4）＝﹣f（x），進而可得函數f（x）是周期為8的周期函數，據此結合f（5）＝﹣3求解.

因為對于任意x∈R都有f（x+2）＝f（2﹣x）+3f（2），

令x＝0可得：f（2）＝f（2）+3f（2），

解得f（2）＝0；

則f（x+2）＝f（2﹣x），

解得f（﹣x）＝f（4+x），

又因為f（x）為奇函數，則f（﹣x）＝﹣f（x），

則有f（x+4）＝﹣f（x），

所以f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），

即函數f（x）是周期為8的周期函數，

所以f（2019）＝f（3+252×8）＝f（3）＝﹣f（﹣3）＝﹣f（5）＝3；

故選：D．