Question

【題目】設函數f（x）= +c（e=2.71828…是自然對數的底數，c∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間、最大值；
（Ⅱ）討論關于x的方程|lnx|=f（x）根的個數．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f′（x）= ，解f′（x）＞0，得x＜ ；解f′（x）＜0，得x＞ ．

∴函數f（x）的單調遞增區間為（﹣∞， ）；單調遞減區間為（ ，+∞）．

故f（x）在x= 取得最大值，且f（x）max= +c．

（Ⅱ）函數y=|lnx|，當x＞0時的值域為[0，+∞）．如圖所示：

①當0＜x≤1時，令u（x）=﹣lnx﹣ ﹣c，

c=﹣lnx﹣ =g（x），

則g′（x）=﹣ ．

令h（x）=e2x+x﹣2x2，則h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]單調遞增，

∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．

∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]單調遞減．

∴c≥g（1）=﹣ ．

②當x≥1時，令v（x）=lnx﹣ ﹣c，得到c=lnx﹣ =m（x），

則m′（x）= ＞0，

故m（x）在[1，+∞）上單調遞增，∴c≥m（1）=﹣ ．

綜上①②可知：當c＜﹣ 時，方程|lnx|=f（x）無實數根；

當c=﹣ 時，方程|lnx|=f（x）有一個實數根；

當c＞﹣ 時，方程|lnx|=f（x）有兩個實數根．

【解析】（Ⅰ）根據題意分析f（x）的導數，討論f′（x）的正負情況即可得到函數的單調性與最值。(2)由題意轉化問題為已知函數在[0，+∞）上的根的情況，逐一討論去掉絕對值符號再分析導函數的性質，通過單調區間和極值判斷各種情況下的根的個數，然后求個情況的并集即可。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．