Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是菱形，且∠A=60°，AB=2，E為AB的中點，將四邊形EBCD沿DE折起至EDC1B1 ， 如圖2．
（Ⅰ） 求證：平面ADE⊥平面AEB1；
（Ⅱ） 若二面角A﹣DE﹣C1的大小為 ，求三棱錐C1﹣AB1D的體積．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵圖1，四邊形ABCD是菱形，且∠A=60°，E為AB的中點，

∴DE⊥AB，

∵將四邊形EBCD沿DE折起至EDC1B1，如圖2，

∴DE⊥AE，DE⊥B1E，

又AE∩B1E=E，∴DE⊥平面AEB1，

∵DE平面ADE，∴平面ADE⊥平面AEB1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE⊥AE，DE⊥B1E，∴∠AEB1 為二面角A﹣DE﹣C1的平面角為 ，又∵AE=EB1=1，∴△AEB1 為正三角形，則AB1=1．

在RtDEB1 中，由 ，可得B1D=2，

∴△ADB1是等腰三角形，底邊AB1 上的高等于 ．

則 ．

設E到平面ADB1的距離為h，則由等積法得： ，

得h= ．

∵C1D∥B1E，且C1D=2B1E，

∴C1 到平面ADB1 的距離為 ．

則 ．

【解析】（Ⅰ）由原圖形中的DE⊥AB，可得折起后DE⊥AE，DE⊥B1E，再由線面垂直的判定可得DE⊥平面AEB1，進一步得到平面ADE⊥平面AEB1；（Ⅱ）通過解三角形求出三角形ADB1 的面積，利用等積法求得E到平面ADB1 的距離，再由比例關系求得C1到平面ADB1 的距離，則三棱錐C1﹣AB1D的體積可求．
【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．