Question

【題目】設各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn ， 滿足an+1= ，n∈N* ， 且a2 ， a5 ， a14構成等比數列．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若對一切正整數n都有 + +…+ ＜ ，求實數a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n≥2時，可得：4Sn= ﹣4n﹣1，4Sn﹣1= ﹣4（n﹣1）﹣1，

相減可得：4an=4Sn﹣4Sn﹣1= ﹣ ﹣4，化為： = ，∵an＞0，∴an+1=an+2，即an+1﹣an=2，

∴當n≥2時，數列{an}是公差為2的等差數列．∵a2，a5，a14構成等比數列．∴ =a2a14，

∴ =a2（a2+12×2），解得a2=3．

又n=1時，3=a2= ，解得a1=1．∴a2﹣a1=3﹣1=2．

∴數列{an}是公差為2的等差數列，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1

（2）解： = = ．

∴ + +…+ = +…+ = ．

由 ≤ ，a≥ ．

∴實數a的最小值為

【解析】（1）由Sn和an 的關系可求出數列{an}是公差為2的等差數列，再由已知可得a2，a5，a14構成等比數列，利用等比數列的定義可求出a2=3。根據已知遞推公式可得a1=1，a2=3所以可求出公差d=2進而得到數列{an}是公差為2的等差數列。（2）根據（1）整理由裂項相消法求和得到代數式，由放縮法可得該式小于，進而得到a的最小值。