Question

如圖，直線，拋物線，已知點在拋物線上，且拋物線上的點到直線的距離的最小值為．

（1）求直線及拋物線的方程；
（2）過點的任一直線（不經過點）與拋物線交于、兩點，直線與直線相交于點，記直線，，的斜率分別為，， ．問：是否存在實數，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）直線的方程為，拋物線的方程為．（2）存在且

試題分析：
（1）把點P的坐標帶入拋物線方程即可求出拋物線方程,而直線l方程的求解有兩種方法,法1,可以考慮求出既與拋物線相切,又與直線l平行的直線,該直線與直線l的距離即為拋物線上的點到直線l的最短距離,進而可以求的相應的b值。法二,可以設拋物線上任意一點為,列出點到直線l的距離公式,再利用二次函數的最值即可得到相應的b值。
（2）直線AB經過點Q且不經過P，所以直線AB斜率存在且利用點斜式設出直線方程,聯立直線與拋物線方程,得到關于A,B橫坐標或者縱坐標的韋達定理,進而利用AB直線的斜率表示PA，PB直線的斜率,再聯立直線AB與直線l,用AB直線斜率表示PM直線的斜率,得到關于AB直線斜率的表達式,帶入即可求的的值.
試題解析：
（1）（法一）點在拋物線上， ．                 2分
設與直線平行且與拋物線相切的直線方程為，
由 得，
，
由，得，則直線方程為．
兩直線、間的距離即為拋物線上的點到直線的最短距離，
有，解得或（舍去）．
直線的方程為，拋物線的方程為．                6分
（法二）點在拋物線上， ，拋物線的方程為．               2分
設為拋物線上的任意一點，點到直線的距離為，根據圖象，有，，
，的最小值為，由，解得．
因此，直線的方程為，拋物線的方程為．              6分
（2）直線的斜率存在，設直線的方程為，即，
由 得，
設點、的坐標分別為、，則，，
，，                 9分
.        10分
由 得，，
，             13分
．
因此，存在實數，使得成立，且．                14分