Question

【題目】試求所有的正數(shù) ，使得在雙曲線的右支上總存在焦點(diǎn)弦，它關(guān)于原點(diǎn)的張角為直角。

Answer 1

【答案】

【解析】

記雙曲線的右焦點(diǎn)為，其中，，設(shè)焦點(diǎn)弦交雙曲線的右支于點(diǎn).

由，得.①

如果，則漸近線的傾角.而雙曲線的右支含于兩漸近線所夾的角形區(qū)域內(nèi)，該角形區(qū)域的頂角.此時，雙曲線右支中的任一條弦關(guān)于原點(diǎn)的張角皆小于，不合題意.故.

（1）當(dāng)焦點(diǎn)弦與軸垂直時，若構(gòu)成以為斜邊的直角三角形，則是等腰直角三角形，于是，，（如圖），即點(diǎn)滿足，而.

由，得.

故.

而，則.

（2）當(dāng)焦點(diǎn)弦與軸不垂直時，焦點(diǎn)弦與雙曲線右支的兩個交點(diǎn)具有不同的橫坐標(biāo)，

設(shè)的方程為.

將雙曲線的方程改寫為.

則，即. ②

又方程②有兩個不同的正根，則.

由方程②得.

據(jù)式①由

，

即.

注意到，則.③

由于，故.

所以， .

又，由式③得，即.

綜合（1）、（2），的取值范圍是.