Question

（2011•寶坻區一模）如圖，△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，∠BCD=90°，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E，F分別為DB，CB的中點，
（1）證明PE∥平面ABC；
（2）證明AE⊥BC；
（3）求直線PF與平面BCD所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）連接EF，AF．由面面垂直的性質證出CD⊥平面ABC，從而得到PA∥CD，再用三角形中位線定理和DC=2PA，證出四邊形PAFE是平行四邊形，可得PE∥AF，結合線面平行判定定理即可得到PE∥平面ABC；
（2）根據線面垂直的性質，得到BC⊥PA．由正三角形的性質，得出BC⊥AF，結合線面垂直判定定理得到BC⊥平面PAFE，
從而證出AE⊥BC；
（3）由面面垂直的性質和平行線的性質，可得PE⊥平面BCD，從而得到，∠PFE就是直線PF與平面BCD所成的角．在RtPEF中，利用題中的數據和正切的定義算出∠PFE的正切值為

3

，從而得到∠PFE=60°，即得直線PF與平面BCD所成的角的大小．

解答：解：（1）連接EF，AF
∵平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，CD⊥BC
∴CD⊥平面ABC，結合PA⊥平面ABC，可得PA∥CD
∵EF是△BCD的中位線，∴EF∥CD且EF=

1

2

CD
∵PA∥CD且PA=

1

2

CD，∴四邊形PAFE是平行四邊形，可得PE∥AF，
∵PE?平面ABC，AF?平面ABC，∴PE∥平面ABC；
（2）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA
∵正△ABC中，F為BC中點，∴BC⊥AF
∵AF、PA是平面PAFE內的相交直線，
∴BC⊥平面PAFE，
∵AF?平面PAFE，∴AE⊥BC；
（3）∵平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，AF⊥BC
∴AF⊥平面BCD，結合PE∥AF可得PE⊥平面BCD，
因此，∠PFE就是直線PF與平面BCD所成的角
∵正△ABC中，F為BC中點，∴AF=

3

2

BC，可得PE=

3

2

BC，
又∵△BCD的中位線FE=

1

2

CD，CD=BC，∴FE=

1

2

BC
因此RtPEF中，tan∠PFE=

PE

FE

=

3

，可得∠PFE=60°
即直線PF與平面BCD所成的角的大小為60°．

點評：本題給出等腰三角形所在平面與正三角形所在平面垂直，且它們有一條公共邊，求直線與平面所成的角并證明了線面平行、線面垂直，著重考查了空間平行、垂直位置關系的證明和直線與平面所成角求法等知識，屬于中檔題．