Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，3S_n+1是6與2S_n的等差中項（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在正整數k，使不等式k（-1）ⁿa_n²＜S_n（n∈N^*）恒成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件推導出Sn+1=

1

3

Sn+1，從而得到an+1=

1

3

an對n≥2都成立，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）k(-1)n(

1

3

)2(n-1)＜

1

2

[3-(

1

3

)n-1]，n∈N^*恒成立，令(

1

3

)n-1=t，0＜t＜

1

3

，則等價于2kt²+t-3＜0恒成立，由此能求出存在符合要求的正整數k，且其最大值為11．

解答： 解：（1）因為3S_n+1是6與2S_n的等差中項，
所以6+2S_n+6S_n-1（n∈N^*），即Sn+1=

1

3

Sn+1，（n∈N^*）
當n≥2時有Sn=

1

3

Sn-1+1．
得Sn+1-Sn=

1

3

(Sn-Sn-1)，即an+1=

1

3

an對n≥2都成立，
又S2=

1

3

S1+1，即a1+a2=

1

3

a1+1，所以a2=

1

3

=

1

3

a1，
所以an=

1

3n-1

．（n∈N^*）．
（2）存在正整數k，使不等式k（-1）ⁿa_n²＜S_n（n∈N^*）恒成立，
等價于k(-1)n(

1

3

)2(n-1)＜

1

2

[3-(

1

3

)n-1]，n∈N^*恒成立，
當n為奇數時，對任意正整數k，不等式恒成立；
當n為偶數時，等價于2k(

1

3

)2(k-1)+(

1

3

)n-1-3＜0恒成立，
令(

1

3

)n-1=t，0＜t＜

1

3

，則等價于2kt²+t-3＜0恒成立，
因為k為正整數，故只須2k(

1

3

)2+

1

3

-3＜0，解得0＜k＜12，k∈N^*，
所以存在符合要求的正整數k，且其最大值為11．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查滿足條件的實數是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．