Question

如圖，在△ABC中，D是邊BC上一點，DC=2BD．
（1）若

AB

=

a

，

AC

=

b

，用

a

，

b

表示向量

BC

•

AD

；
（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求

BC

•

AD

的值；
（3）若B（-1，

3

），C（1，0），求點D的坐標．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,平面向量的坐標運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用向量的三角形法則即可得出；
（2）由∠BAC=120°，AB=2，AC=1，可得

a

•

b

=2×1×cos120°=-1．再利用（1）和數量積運算可得

BC

•

AD

=(

b

-

a

)•(

2

3

a

+

1

3

b

)=

1

3

a

•

b

+

1

3

b

2-

2

3

a

2即可得出．．
（3）設D（x，y），利用向量的坐標運算和向量相等即可得出．

解答： 解：（1）∵

BC

=

AC

-

AB

=

b

-

a

，

DC

=2

BD

，
∴

AD

=

BD

-

BA

=

1

3

BC

+

AB

=

1

3

(

b

-

a

)+

a

=

2

3

a

+

1

3

b

．
（2）∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，
∴|

a

|=2，|

b

|=1，

a

•

b

=2×1×cos120°=-1．
由（1）可得

BC

•

AD

=(

b

-

a

)•(

2

3

a

+

1

3

b

)=

1

3

a

•

b

+

1

3

b

2-

2

3

a

2=

1

3

×(-1)+

1

3

×12-

2

3

×22=-

8

3

．
（3）設D（x，y），∵

DC

=2

BD

，B（-1，

3

），C（1，0），
∴（1-x，-y）=2(x+1，y-

3

)=(2x+2，2y-2

3

)，
∴

1-x=2x+2 -y=2y-2 3

，解得

x=- 1 3 y= 2 3 3

，
∴D(-

1

3

，

2 3

3

)．

點評：本題考查了向量的三角形法則、數量積運算、向量的坐標運算和向量相等等基礎知識，屬于中檔題．